편미분

편미분이란 두 개 이상의 변수가 있는 식에서, 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다.

이러한 개념은 벡터 미적분학에서 중요하게 쓰인다.

함수 f를 x로 편미분하는 것을 기호로는 , 또는 , f_x와 같이 나타낸다.

여기에서 는 아드리앵마리 르장드르가 처음 제안했다.



예)

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.    

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.       ;

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.                      




정의)

편미분에 대한 엄밀한 정의는 다음과 같다.

집합 U가 열린 집합이고 Rⁿ의 부분집합이고, 함수 f가 f : U → R라고 하자.

a = (a₁, ..., a_n) ∈ U인 원소 a에 대해, i번째 변수 x_i의 편미분은 다음과 같이 정의된다.

표기법)

만약 f가 독립적인 변수 x,y,z에 대한 함수라고 하면, f를 x로 편미분한 식은 다음과 같다.

 

이 식을 x로 한번 더 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

 

이때 f_x를 y로 편미분한다면, 즉 함수 f를 x로 편미분한 후 y로 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

 

역시 마찬가지로, f를 x로 편미분한 후 y, z로도 한번씩 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

출처 : 위키백과