★ [수학] 피타고라스 정리 ★

다음 그림과 같이 직각삼각형의 직각을 낀 두 변의 길이를 각각  라 하고, 빗변의 길이를  라 하면  이다. 이 정리를 처음으로 증명한 사람은 고대 그리스의 수학자인 피타고라스이다. 따라서 그의 이름을 따서 이 정리를 피타고라스의 정리라고 한다. ◀◀ 참고 피타고라스의 정리를 이용하면 직각삼각형에서 두 변의 길이를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. 즉 위의 그림과 같은 직각삼각형에서 이다. ◀◀ 보기  직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이가 각각  일 때, 빗변의 길이는  직각삼각형에서 직각을 낀 한 변의 길이가  , 빗변의 길이가  일 때, 직각을 낀 또 다른 한 변의 길이는  직각삼각형  에서  일 때,  의 길이는  직각삼각형  에서  일 때,  의 길이는  직각삼각형  에서  일 때,  의 길이는  직각삼각형  에서  일 때,  의 길이는

피타고라스의 정리의 증명

다음 그림과 같은 직각삼각형  에서 두 변  를 연장하여  를 한 변의 길이로 하는 정사각형  를 만들면, 정사각형  를 서로 합동인 네 개의 삼각형  와 한 개의 정사각형  로 나눌 수 있다. □  □  이므로 이것을 계산하여 정리하면 ◀◀ 보기  다음 그림과 같은 직각삼각형  에서  이 성립함을 증명해 보자. 모눈 하나의 가로와 세로의 길이를 각각  이라고 하면  이다.  ㉮ 한편,  를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다음 그림에서  ㉯ ㉮, ㉯에서   삼각형의 닮음을 이용하여 피타고라스의 정리를 증명해 보자. 다음 그림과 같은 직각삼각형  의 꼭지점  에서 빗변  에 내린 수선의 발을  라 하자.  와  에서  (공통)  ∽   와  에서  (공통)  ∽  따라서  이므로 이 두 식을 변끼리 더하면  ㉮ 위의 그림에서  이므로 이것을 ㉮에 대입하면  다음 그림은 합동인  개의 직각삼각형을 맞추어 한 변의 길이가  인 정사각형을 만든 것이다. 이 그림을 이용하여 피타고라스의 정리를 증명해 보자. 한 변의 길이가  인 정사각형의 넓이는, 서로 합동인  개의 직각삼각형의 넓이와 한 변의 길이가  인 정사각형의 넓이의 합과 같다. 즉  이므로  다음 그림과 같이 직각삼각형  의 바깥쪽에 한 변을 각각  로 하는 세 개의 정사각형을 만든다. 다음에 점  로부터  에 그은 수선  이  와 만나는 점을  이라 하고, 점  와 점  , 점  와 점  를 잇는다. 이제 이 그림에서  이 성립함을 증명해 보자.  와  에서  (∵□  는 정사각형)  (∵□  는 정사각형)  (  합동)  ㉮  와  에서 높이가 같고 밑변  가 공통이므로 = ㉯ 또  와  에서 높이가 같고 밑변 가 공통이므로 = ㉰ ㉮, ㉯, ㉰에서 □ □  ㉱ 마찬가지 방법으로  와  를 생각하면 □  □  ㉲ ㉱, ㉲에 의하여 □  □  □                 = □  □   합동인 두 삼각형  를 다음 그림과 같이 붙여 놓았다.  가 직각이등변삼각형이 됨을 밝혀, 이것과 사다리꼴의 넓이를 이용하여  임을 증명해 보자.  이므로  ㉮  (대응각)  ㉯ ㉮, ㉯에서  는 직각이등변삼각형이다. 또, □  이고 □  이므로

삼각형의 각의 크기에 대한 변의 길이

삼각형  에서  의 크기를 다음 그림과 같이 세 가지로 나눌 수 있다.     인 경우 피타고라스의 정리에 의해서   인 경우 다음 그림과 같이  의 꼭지점  에서  의 연장선에 내린 수선의 발을  라 하고,  로 놓자.  와  는 모두 직각삼각형이고, 피타고라스의 정리에 의하여 다음 식이 성립한다.  ㉮  ㉯ ㉮와 ㉯에서  를 소거하기 위하여 ㉮ －㉯를 하면 이를 간단히 하면 그런데  이므로  인 경우 다음 그림과 같이  의 꼭지점  에서  에 내린 수선의 발을  라 하고,  라 하자. 직각삼각형  와  에서 피타고라스의 정리에 의하여  ㉮  ㉯ ㉮와 ㉯에서  를 소거하기 위하여 ㉮ － ㉯를 하면 이를 간단히 하면 그런데  이므로 이상을 정리하면 다음과 같은 삼각형의 각에 대한 변의 관계를 얻을 수 있다.  에서  이면   이면   이면  ◀◀ 보기 (1) 다음 그림과 같은  에서  의 값의 범위를 구해 보자.  가 예각이므로 그런데  는 변의 길이이므로  이다.  ㉮ 한편, 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 차보다는 크고 합보다는 작아야 하므로  ㉯ ㉮, ㉯에서  (2) 직각삼각형의 세 변의 길이가  일 때, 이 삼각형의 세 변의 길이를 구해 보자.  가 빗변의 길이가 되므로  이므로  따라서 주어진 삼각형의 세 변의 길이는 각각  이다. (3) 다음 그림과 같은 삼각형  에서  의 범위를 구해 보자. (단,  )  이므로  인  에서 세 변의 길이가  일 때,  의 값의 범위를 구해 보자. (단, 는  의 대변)  이므로  이므로  ㉮ 또 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 차보다는 크고 합보다는 작아야 하므로  ㉯ ㉮, ㉯에서  (5) 다음 그림과 같이  가 둔각삼각형일 때,  의 값의 범위를 구해 보자.  이므로  이므로